霍尔效应的理解和计算

湖北省恩施高中陈恩谱一、霍尔效应1、预设条件：通有电流I的导体，处在磁场B中。2、霍尔效应：（1）载流子的偏转导体通有电流，实际上是导体内的自由电荷（载流子）发生了定向移动；这种定向移动的电荷，必然受到磁场对它们的洛伦兹力作用而偏转。（2）导体垂直磁场的两侧面的电势差载流子侧向偏转的结果，是导体垂直磁场的两个侧面出现正负电荷的累积，进而在两侧面间形成垂直导体中电流方向的电场E（霍尔电场），进而在导体两侧面间形成电势差。（3）载流子对电势高低的影响如图①所示，若载流子是负电荷，则载流子在洛伦兹力作用下会向下偏转，使得导体下表面积累负电荷，与此同时，上表面失去负电荷而带上正电，从而使得上表面电势高于下表面；反过来，如图②所示，若载流子是正电荷，则载流子在洛伦兹力作用下也会向下偏转，使得导体下表面积累正电荷，与此同时，上表面失去正电荷而带上负电，从而使得下表面电势高于上表面。二、霍尔电压1、稳定电压的产生载流子沿着导线定向移动时，不仅受到洛伦兹力qvB作用，还受到霍尔电场力qE的作用，洛伦兹力促使载流子偏转，电场力阻碍载流子偏转，但只要电场力还小于洛伦兹力，载流子就会继续向导体侧面偏转；随着载流子持续偏转，导体两侧面电荷累积增多，霍尔电场增强，电场力增大，当导体两侧面累积电荷足够多、霍尔电场足够强时，电场力与洛伦兹力平衡，载流子就不再偏转，导体两侧的电荷量达到稳定，霍尔电场不再变化，则两侧面间的电势差达到稳定，这个电势差就被称之为霍尔电压，符号为UH。2、霍尔电压的计算设霍尔电场场强为E，则由平衡条件，有qEqvB0，导体两侧面间的电势差——即霍尔电压为UHEd，联立得UHBdv。其中，v是载流子在到体内沿着导线定向移动的平均速率，设导体单位体积内自由电荷数为n，每个载流子的电荷量为q，导体沿着磁场方向的厚度为h，则导体垂直电流方向的横截面积为Shd，有InqSv，解得v

I

，代入UHBdv，得nqSUH

1BI

。

nqh1nq由上式可以看出，霍尔电压UH与磁感应强度B成正比，与导体中通有的电流I成正比。其中，k叫做导体的霍尔系数。三、霍尔效应的应用1、判断导体中载流子的正负可以利用两侧面电势的高低关系判断导体中的载流子到底是正电荷还是负电荷，或者判断哪种载流子起主导作用。【例1】如图所示为一长方体容器，容器内充满NaCl溶液，容器的左右两壁为导体板，将它们分别接在电源的正、负极上，电路中形成一定的电流，整个装置处于垂直于前后表面的匀强磁场中，则关于液体上、下两表面的电势，下列说法正确的是()A．上表面电势高，下表面电势低B．上表面电势低，下表面电势高C．上、下两表面电势一样高D．上、下两表面电势差的大小与磁感应强度及电流强度的大小有关[解析]由题图可知，电流从左向右流动，正负离子的流动方向完全相反，即正离子向右流动，负离子向左流动，根据左手定则，正负离子都向上偏转，下表面不带电，上表面正负离子电性中和，也不带电，故电势差为零，即上、下两表面电势一样高，C正确。【例2】(多选)半导体内导电的粒子——“载流子”有两种：自由电子和空穴(空穴可视为能自由移动的带正电粒子)．以空穴导电为主的半导体叫P型半导体，以自由电子导电为主的半导体叫N型半导体．图Z8-13为检验半导体材料的类型和对材料性能进行测试的原理图，图中一块长为a、宽为b、厚为c的半导体样品板放在沿y轴正方向的匀强磁场中，磁感应强度大小为B．当有大小为I、沿x轴正方向的恒定电流通过样品板时，会产生霍尔电势差UH．已知每个载流子所带电荷量的绝对值为e，下列说法中正确的是()A．如果上表面电势低，则该半导体为N型半导体B．如果上表面电势低，则该半导体为P型半导体C．其他条件不变，增大c时，UH增大󰜫iD．样品板在单位体积内参与导电的载流子数目为n=

󰜿t󰜷H

[解析]若上表面电势低，即带负电，因粒子受到的洛伦兹力向上，故载流子是带负电的自由电子，该󰜷H󰜾半导体是N型半导体，故A正确，B错误;最终洛伦兹力和电场力平衡，有evB=e无关，故C错误;电流的微观表达式为I=nevS=nevbc，联立解得n=󰜿t󰜷H󰜫i，则UH=Bbv，与c，D正确．2、测定磁感应强度大小——霍尔元件在预加确定电流的情况下，利用霍尔电压UH与磁感应强度B成正比，即可测定磁感应强度的大小，这种元件被称之为霍尔元件，其中导体垂直磁场的表面叫做霍尔元件的工作面，导体顺着磁场方向的厚度h为霍尔元件的厚度。【例3】如图所示是霍尔元件的工作原理示意图，如果用h表示薄片的厚度，k为霍尔系数，对于一个霍尔元件，h、k为定值。如果保持电流I恒定，则可以验证UH随B的变化情况。以下说法中正确的是（）A．将永磁体的一个磁极逐渐靠近霍尔元件的工作面，UH

将变大hB．在测定地球两极的磁场强弱时，霍尔元件的工作面应保持水平C．在测定地球赤道上方的磁场强弱时，霍尔元件的工作面应保持水平D．改变磁感线与霍尔元件工作面的夹角，UH将发生变化[解析]在E、F间通入恒定电流I，同时外加与薄片垂直的磁场B，M、N间出现电压UH，满足关系式UHk

BIBI。磁极逐渐靠近霍尔元件的工作面，B增大，UH将变大，A对；关系式UHk中，BhhBI

应与工作面垂直，因此改变磁感线与霍尔元件工作面的夹角，UH将发生变化，D对；将公式UHk变h形得B

UHh

，磁场与工作面垂直时便于测量，地球两极的磁场方向垂直于地面，霍尔元件的工作面应保kI

持水平，B对；赤道上方的磁场方向水平，霍尔元件的工作面应保持竖直，C错。【例4】如图，铜质导电板（单位体积的电荷数为n）置于匀强磁场中，用电源、开关、电流表、电压表可以测出磁感应强度的大小和方向。将电路接通，串联在AB线中的电流表读数为I，电流方向从A到B，并联在CD两端的电压表的读数为UCD＞0，已知铜质导电板厚d、横截面积为S，电子电荷量为e。则该处的磁感应强度的大小和方向可能是（）A．C．neSU

、垂直纸面向外Id

neSU

、垂直纸面向里Id

B．nSU

、竖直向上Id

nSU

、竖直向下Id

U

eBev（式中v为电子定向移动的速率），d

D．[解析]铜质导电板靠电子导电，当铜质导电板通电时，有由电流的微观定义得I＝neSv，解得B

neSU

；根据左手定则可知，磁感应强度的方向垂直纸面向外，Id

故A对。四、速度选择器、电磁流量计（磁流体发电机）与霍尔元件的区别速度选择器、电磁流量计（磁流体发电机）与霍尔元件原理都是利用电磁场对带电粒子的偏转效应，并且稳定时也都是电场力与磁场力的平衡，因此很多同学容易将三者混淆，笔者特将三者做一对比区别如下表。速度选择器电磁流量计（磁流体发电机）霍尔元件仪器结构预加的场作用对象偏转情况预期结果决定因素正交的电场与磁场单个的带电粒子速度偏大或偏小，粒子的正负，都将导致粒子偏转方向相反通过狭缝后粒子的速度磁场大量的自由正负离子在稳定前，正负离子偏转方向相反，稳定后粒子不再偏转（未接入外电路之前）经过偏转后两板间的电势差恒定电场（电流）、磁场导体中的载流子在稳定前，粒子偏转，稳定后粒子不再偏转（未接入外电路之前）经过偏转后两侧面间的电势差v

EB

UBdv

U

1BInqh

针对训练1、利用霍尔效应制作的霍尔元件，广泛应用于测量和自动控制等领域。如图是霍尔元件的工作原理示意图，磁感应强度B垂直于霍尔元件的工作面向下，通入图示方向的电流I，C、D两侧面会形成电势差UCD，下列说法中正确的是()A．电势差UCD仅与材料有关B．若霍尔元件的载流子是自由电子，则电势差UCD<0C．仅增大磁感应强度时，电势差UCD变大D．在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持水平解析：选BC电势差UCD与磁感应强度B、材料有关，选项A错误；若霍尔元件的载流子是自由电子，由左手定则可知，电子向C侧面偏转，则电势差UCD<0，选项B正确；仅增大磁感应强度时，电势差UCD变大，选项C正确；在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持竖直且东西放置，选项D错误。2、如图所示，X1、X2，Y1、Y2，Z1、Z2分别表示导体板左、右，上、下，前、后六个侧面，将其置于垂直Z1、Z2面向外、磁感应强度为B的匀强磁场中，当电流I通过导体板时，在导体板的两侧面之间产生霍尔电压UH。已知电流I与导体单位体积内的自由电子数n、电子电荷量e、导体横截面积S和电子定向移动速度v之间的关系为I＝neSv。实验中导体板尺寸、电流I和磁感应强度B保持不变，下列说法正确的是()A．导体内自由电子只受洛伦兹力作用B．UH存在于导体的Z1、Z2两面之间C．单位体积内的自由电子数n越大，UH越小UD．通过测量UH，可用R＝求得导体X1、X2两面间的电阻I解析：选C由于磁场的作用，导体内自由电子受洛伦兹力，向Y2面聚集，在Y1、Y2面之间产生了匀强电场，故电子也受电场力，故A错误；由上述讨论可知，Y1、Y2面之间产生了UH

电势差UH，故B错误；电子在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡状态，有：qvB＝qE，其中：E＝(ddI1为Y1、Y2平面之间的距离)，根据题意，有：I＝neSv，联立得到：UH＝Bvd＝Bd∝，故单位体积内的neSnI自由电子数n越大，UH越小，故C正确；由于UH＝Bd，与导体的电阻无关，故D错误。neS3、如图所示为利用海流发电的磁流体发电机原理示意图，矩形发电管道水平东西放置，整个管道置于方向竖直向上，磁感应强度大小为B的匀强磁场中，其上、下两面是绝缘板，南、北两侧面M、N是电阻可忽略的导体板，两导体板与开关S和定值电阻R相连，已知发电管道长为L，宽为d，高为h，海水在发电管道内以恒定速率v朝正东方向流动。发电管道内的海水在垂直流动方向的电阻为r，海水在管道内流动时受到摩擦阻力大小恒为f，不计地磁场的影响，则()A．北侧面N的电势高B．开关S断开时，M，N两端的电压为BdvB2d2vC．开关S闭合时，发电管道进、出口两端压力差F＝f＋R＋r222BdvD．开关S闭合时，电阻R上的功率为R解析：选BC海水向东流动的过程中，正电荷受到的洛伦兹力的方向指向M，而负电荷受到的洛伦兹力的方向指向N，所以M侧聚集正电荷，M侧的电势高，故选项A错误；设带电离子所带的电荷量为q，U当其所受的洛伦兹力与电场力平衡时，U保持恒定，有qvB＝q①，解得：U＝Bdv②，故选项B正确；d设开关闭合前后，管道两端压力分别为F1、F2，液体所受的摩擦阻力均为f，开关闭合后管道内液体受到U的安培力为F安，有：F2＝F1＋f＋F安③，F安＝BId④，根据欧姆定律，有I＝⑤，由①②③④⑤式R＋rB2d2vB2d2v2R2

得：F＝F2－F1＝f＋，故选项C正确；电阻R获得的功率为P＝IR⑥，联立得：P＝，故R＋rR＋r2

选项D错误。4、(多选)为了测量某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图Z8-11所示的流量计．该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左、右两端开口，在垂直于前、后面的方向加磁感应强度为B的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板M、N作为电极．污水充满管口从左向右流经该装置时，电压表将显示两个电极间的电压U，用Q表示污水流量(单位时间内流出的污水体积)．下列说法中正确的是()A．若污水中负离子较多，则N板电势比M板电势高B．M板电势一定高于N板的电势C．污水中离子浓度越高，电压表的示数越大D．电压表的示数U与污水流量Q成正比BD[解析]污水中的离子都随水流运动，由左手定则可判断，正离子偏转到M板，负离子偏转到N板，所以M板的电势高于N板的电势，A错误，B正确;离子在电场力和洛伦兹力的共同作用下运动，最终达到平衡，即电场力等于洛伦兹力，有q=Bqv，解得U=Bvc，与离子浓度无关，C错误;测出离子随水流移动的速度，即水流的速度，从而求出流量Q=cbv，得U=󰜿󰜷5、（2018年浙江卷4月选考）压力波测量仪可将待测压力波转换为电压信号，其原理如图1所示。压力波p（t）进入弹性盒后，通过与铰链O相连的“-|”型轻杆L，驱动杆端头A处的微型霍尔片在磁场中沿x轴方向做微小振动，其位移x与压力p成正比（x=αp，α>0）。霍尔片的放大图如图2所示，它由长×宽×厚=a×b×d、单位体积内自由电子数为n的N型半导体制成。磁场方向垂直于x轴向上，磁感应强度大小为B=B0（1-β|x|），β>0。无压力波输入时，霍尔片静止在x=0处，此时给霍尔片通以沿C1C2方向的电流I，则在侧面上D1、D2两点间产生霍尔电压U0。（1）指出D1、D2两点哪点电势高；（2）推导出U0与I、B0之间的关系式（提示：电流I与自由电子定向移动速率v之间关系为I=nevbd，其中e为电子电荷量）；（3）弹性盒中输入压力波p（t），霍尔片中通以相同电流，测得霍尔电压UH随时间t变化图像如图3。忽略霍尔片在磁场中运动产生的电动势和阻尼，求压力波的振幅和频率。（结果用U0、U1、t0、α及β表示）Op(t)LC1IxAbD2aBD1

dC2

UH

U1Ot0

2t0

3t0

4t0

U0

UH

󰜳i󰜾，则U与Q成正比，故D正确．弹性盒Bt第22题图1答案：（1）D1点电势高（2）电子受力平衡：evB0=eEH得到第22题图2第22题图3U0EHb1IB0ned1(1

U1)U0

频率：f

（3）霍尔电压UH(t)U0(1p)，振幅：A

12t0

6、（2014年理综福建卷）如图，某一新型发电装置的发电管是横截面为矩形的水平管道，管道的长为L、宽度为d、高为h，上下两面是绝缘板，前后两侧面M、N是电阻可忽略的导体板，两导体板与开关S和定值电阻R相连。整个管道置于磁感应强度大小为B，方向沿z轴正方向的匀强磁场中。管道内始终充满电阻率为ρ的导电液体（有大量的正、负离子），且开关闭合前后，液体在管道进、出口两端压强差的作用下，均以恒定速率v0沿x轴正向流动，液体所受的摩擦阻力SB不变。y（1）求开关闭合前，M、N两板间的电势差大小U0；NR（2）求开关闭合前后，管道两端压强差的变化Δp；hzxv0M（3）调整矩形管道的宽和高，但保持其它量和矩形管道的横截dL面S=dh不变，求电阻R可获得的最大功率Pm及相应的宽高比d/h的值。解析：（1）设带电离子所带的电量为q，当其所受的洛伦兹力与电场力平衡时，U0保持恒定，有Bqv0q（2）设开关闭合前后，管道两端压强差分别为p1、p2，液体所受的摩擦阻力均为f，开关闭合后管道内液体受到的安培力为F安，有：p1hd=f，p2hd=f+F安，F安=BIdU0d得：U0Bdv0根据欧姆定律，有I

U0Rr两导体板间液体的电阻rLdv0B2

联立解得：p

LhRddLhBLv02

)R，LRdh22LSv0BdLR

当时，电阻R获得的最大功率Pm

4h（3）电阻R获得的功率为：PIR，P(

2本文收录于陈恩谱老师《物理原来可以这样学》2019年6月第三次修订版

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