通信与信息处理 Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ 《自动化技术与应用》２０１ ２年第３１卷第２期 基于广义Ｓ变换的时频滤波技术研究 刘霞。徐涛，段玉波。王琼 （东北石油大学，黑龙江大庆１６３３１８） 摘 要：针对Ｓ变换的滤波方法受到窗函数崮定的限制，对信号的滤波不能达到良好效果，广义Ｓ变换时频滤波克服了传统ｓ变换滤 波因子小能随时间、频率变化而变化的缺陷。将信号用广义Ｓ变换方法变换到时频域，对不同时间内不同频率的噪声部分冲 零，冉将去噪后的信号利用广义Ｓ反变换到时间域，获得所需要的有效信号。通过理论计算和信号模型仿真表明，广义Ｓ变换 时频滤波方法能够较为精确的分析数据的时间和频率特征，有效滤除不 时段不同频率的噪声，可以最大化的保留原始信 ０、。 该方法具有较高的实用性和灵活性。 关键词：Ｓ变换；广义Ｓ变换；时频滤波 中网分类号：ＴＮ９１４ 文献标识码：Ａ 文章编弓‘：１００３ ７２４１（２０１２）０２—００１５：－０５ Ｓｔｕｄｙ ｏｎ Ｔｉｍｅ－・Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｓ．砌ｎｓｆｏｒｍ ＬＩＵ Ｘｉａ，ＸＵ Ｔａｏ，ＤＵＡＮ Ｙｕ－ｂｅ，ＷＡＮＧ Ｑｉｏｎｇ （Ｎｏｒｔｈｅａｓｔ Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｑｍｇ １ ６３３ １ ８ Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓ—ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｂｅｃａｕｓｅ ｗｉｎｄｏｗ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｆｉｘｅｄ，ａｓ ａ ｒｅｓｕｌｔ，ａ ｓａｔｉｓｆａｃｔｏｒｙ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｃａｎ ｎｏｔ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ａｃｔｕａｌ ｄａｔａ．Ｔｉｍｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｗｉｔｈ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｓ－ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｏｖｅｒｃｏｍｅｓ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔａｇｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｆａｃｔｏｒｓ ｉｎ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ Ｓ－ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ａｎｄ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｃｈａｎｇｅ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ａｎｄ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｖａｒｉａｔｉｏｎ．Ｓｉｇｎａｌ ｄａｔａ ａｒｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ ｔｏ ｔｉｍｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｓ－ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ， ｔｈｅｎ，ｔｈｅ ｎｏｉｓｅｓ ａｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｔｉｍｅ ｉｎｔｅｒｖａｌｓ ａｎｄ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ａｒｅ ｚｅｒｏｅｄ ｐａｒｔｌｙ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｓｉｇｎａｌ ｄａｔａ ａｆｔｅｒ ｎｏｉｓｅ ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ ａｒｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ ｉｎｔｏ ｔｉｍｅ ｄｏｍａｉｎ ａｇａｉｎ ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｓ—ｉｎｖｅｒｓｅｔｒａｎｓｆｃ｝ｒｍａｔｉｏｎ ｔｏ ａｃｈｉｅｖｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｓｉｇｎａｌｓ ｎｅｅｄｅｄ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａ１ ａｎｄ ｒｅａｌ ｓｉｇｎａｌ ｍｏｄｅｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ．ｉｔ ｉｓ ｂｅｌｉｅｖｅｄ ｔｈａｔ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｓ—ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｉＳ ｒｅａｌｌｙ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｅｌｉｍｉｎａｔｉｎｇ ｎｏｉｓｅｓ ａｔ ｄｉｆｉｅｒｅｎｔ ｔｉｍｅ ｉｎｔｅｒｖａｌｓ ａｎｄ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｓ— ｔｒａｎｓｆｏｒｍｃｏｕｌｄ ｒｅｓｅｒｖｅ ｔｈｅ ｐｒｉｍａｒｙ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｍａｘｉｍａｌｌｙ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄａｔａ ｉｎ ｔｉｍｅ— ｒｅｑｕｅｎｃｙ ｆｄｏｍａｉｎ．Ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｐｏｓｓｅｓｓｅｓ ａｄｊｕｓｔａｂｌｅ ｔｉｍｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｈｉｇｈｅｒ ｐｒａｃｔｉｃａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ａｄａｐｔ— ａｂｉｌｉｔｙ ｔｈａｎ ｏｔｈｅｒ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｓ－ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｔｉｍｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ １ 引言 时频滤波作为一种新兴的信号处理方法，近年来受 到越来越广泛的重视。它利用时间和频率的联合函数 发展了一系列时频分析方法，例如，ＳＴＦＴ，ＣＷＴ。它们 算法简单，且无交叉干扰项，但受海森堡测不准原则的 约束，时频分辨率又不能同时达到最好。 Ｓｔｏｃｋｗｅｌｌ［￣ｔ等在１ ９９６年提出的一种加时窗傅里叶 来表示信号，其结果称为信号的时频表示。由于传统傅 里叶变换只能将信号从时域映射到一维频域，不能有效 检测非平稳信号的频率随时间的变化，难以分析信号的 局部特征。于是在传统的傅里叶变换的基础上，提出并 收稿日期：２ ０ｌ１—１ ０－３１ 变换方法一Ｓ变换，Ｓ变换是以Ｍｏｒｌｅｔ小波为基本小波 的连续小波变换思想的延伸，是介于ＳＴＦＴ和ＣＷＴ之 间的一种非平稳信号分析处理方法。与ＳＴＦＴ、ＣＷＴ相 比，Ｓ变换有其独特的优势：信号的Ｓ变换的分辨率与频 《自动化技术与盘用 ２０１２年第３１卷第２期 率有关，窗口随频率的增加 通信与１言息处理 Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ 而缩小，信号的Ｓ变换与其傅里叶谱保持直接联 系，同时具有多分辨特性，且基本小波不必满足容许性 条件等。但是由于Ｓ变换中的基本窗函数形态固定，使 其在应用中受到限制。为此许多学者对Ｓ变换进行了推 ＝ 斫 （６） １ 广，提出了广义Ｓ变换【 】。 如果△ 卉 么就衔ＩＪ广义Ｓ变换表 斌Ｇ ＝ ２广义Ｓ变换 ２．１由傅里叶变换导出 连续时间序列白 的广义Ｓ变换的表达式为： 唧 ＝ ， 利用傅里叶反变换实现完全无损的广义Ｓ反 变换为 它可以由傅里叶变换推导而来，对于时间序列 ｆ， ／） 的傅里叶变换，其正变换为日（ ）＝Ｊ ｈ（ｔ）ｅ－ＪＺ￣ｄｔ（２） 由于经典的傅里叶变换不能分析非平稳信号局部 （ 川 ，ｆ）ｄｔｔｅｊ２：ｗｆｔ ２．２离散广义Ｓ变换及其实现 尽管信号的广义Ｓ变换表达式可以由 （８） 的积分方 程得到，但更多的应用是仅知道离散采样时间序列 统计性能，缺乏对时间和频率同时定位的能力，为此， ，此时就需要导出离散广义Ｓ变换。 Ｇａｂｏｒ首先提出了加窗的思想，如果对时间序列 （ ）乘 以一个窗函数ｗ（ ） ， 则其频谱为 参考快速傅里叶变换， （ＫＴ）Ｋ＝Ｏ，１，２，……．．Ｎ 为对应丘 的离散随机序列，时间的采样间隔为Ｔ，离散 的傅里叶变换为 日（，）＝ｆｆｈ（ｔ）ｗ（ｔ）ｅ－ 舻 （３）若窗函数为归一化的高斯 窗函数，并对高斯窗函数进行伸缩（）－和平移 ， 蚓＝ ｘ 间序列五 来得到，即 ｓ／２－￣ ＿ ２…№ 的离散广义Ｓ变换 可以通过频率域方法 ＝ ｗ ｅ （４） Ｆｍ＋ｎ］ｑ孚ＩｅＸ｛ｅＸ（｛Ｕ ｍｊ￣ 式中Ｎ是时间信号的采样点数，Ｔ是采样间隔，ｊ是 没有单位的正整数，ｍ和１２为频率，百是ｈ的离散傅里 此时时间序列五ｆ， 的谱为 叶变换。 当ｎ＝０（相当于零频率），离散形式的表达式为 ，＝ 去 ２ ， 因为上式是三个独立变量的函数，作为时频分析工 具是不切合实际的。为此我们对其进行简化，令（）．（，） ｌ —［删＝ １ Ｎ－１ 而ｍ） 式中ｊ，ｉｎ和ｎ＝０，１，２…．．，Ｎ。式（１１）确保了时间 ｆ’这样就得到ｓ变换的公式： 序列的反变换是精确的。 离散广义Ｓ反变换为 通１言与１言息处理 线性递增的。 《自动化技术与应用》２０１２年第３１卷第２期 （ＫＴ ） ｌ［ｌ Ｎ－，Ｆｌ ， ｊ Ｊ 唧［ｐｌ ］ ｊｃ（）１２） ＝ ｉ ￣－ｉ其中， ≠０。 ２．３广义Ｓ变换的实现 我们记ｎ＝ｎ／ＮＴ，ｍ＝ｍ／ＮＴ，ｋ＝ｋＴ和ｊ＝ｉＴ。广义Ｓ 正变换具体计算步骤如下： （１）用快速傅里叶变换计算Ｎ个点，采样时间间隔 为Ｔ的时间序列ｈ（ｋ）的傅里叶变换Ｈｉｍ】。 （２）计算频率为ｎ的高斯函数值Ｇ［ｎ，ｍ］。 （３）将谱Ｈ［ｍ】频移ｎ得到频移谱Ｈ［ｍ＋ｎ】。 （４）Ｇ［ｎ，ｍ】乘以Ｈ［ｍ＋ｎ】得到Ｂ［ｎ，ｍ］。 （５）Ｂｉｎ，ｍｌ的快速傅里叶反变换得到频率为ｎ的广 义Ｓ变换谱Ｓｉｎ，ｊ】，ｊ：ｉ，２……Ｎ。 （６）重复步骤（３），（４）直到所有的频率计算完毕，就得 到了时间序列ｈ（ｋ）的广义Ｓ变换谱。 同样，根据广义Ｓ反变换的离散形式不难实 广义Ｓ反变换，计算步骤如下： 现 （１）对时间序列ｈ（ｋ）的广义Ｓ变换谱Ｓ［ｎ，ｊ］ｊ按行进 行求和，得到频率为ｎ的傅里叶谱Ｃ［ｎ】。 （２）对频率ｎ进行循环，重复步骤（１），得到谱Ｈｉｍ］。 （３）对谱Ｈ［ｍ］做傅里叶反变换，重构时间序列ｈ（ｋ）。 ３ 广义Ｓ变换的窗函数分析 广义Ｓ变换通过引入两个参数 ，和 ，改造了Ｓ变 换的高斯窗函数，使它能根据实际应用中非平稳信号的 图１ 不同参数的广义Ｓ变换窗函数 图ｌｄ取 ＝０．１、图１ｅ取 ＝１且Ｐ都取１．５，此 频率分布特点和时频分析的侧重点，灵活地调节高斯窗 函数随频率尺度的变化趋势，不仅可以进一步加快或减 慢时窗宽度随信号频率变化的速度，而且使时频平面上 时窗函数的脊（时窗峰值点的连线）呈现多种变化特征， 使广义Ｓ变换能够更好地适应具体信号的分析和处理。 图１展示了参数 和Ｐ在不同取值条件下，广义ｓ 时的时窗函数脊都随频率呈非线性变化，而 改变时窗 的削尖速度。 图１ｆ取 ＝１、图１ｇ取 ＝２且Ｐ都取０．５，把两者 与图１ｄ和图１ｅ比较可见，此时的时窗函数脊随频率又 呈现另一种非线性变化的趋势，而 仍然发挥改变时窗 削尖速度的作用。 总之，虽然参数 和Ｐ都具有改变时窗函数宽度和 幅值的作用，但从图１中可见，两者发挥的作用是不同 变换的时窗函数随着频率尺度变化的规律。显然，窗函 数的时宽随频率尺度，成反比变化，幅值则随之成正比 变化。低频段的时窗较宽，幅值较低，可以获得较高的 频率分辨率而高频段的时窗较窄，幅值较高，故可获得 很高的时间分辨率。 图１ａ是标准Ｓ变换的窗函数，图１ａ取 ＝１、图 １ｂ取 ＝０．３、图ｌＣ取 ＝２．５且Ｐ都取ｌ，比较三者 可见，当 ＞Ｌ时，时窗宽度随频率呈反比变化的速度 加快，当 ＜１时则减慢，而时窗函数的脊都是随频率 的，因此，可以根据实际应用的需要，合理地选择 和Ｐ 调节广义ｓ变换的时频分辨率，克服了Ｓ变换中时窗函 数的变化趋势固定不变的问题，使广义Ｓ变换具有更高 的实用性和灵活性。 ４ 基于广义Ｓ变换的时频域滤波