对求条件极值问题硇思考 中国矿业大学（北京） 吴小虎林天舒刘妍琦 ［摘要］求条件极值是高等数学中经常遇到的一种问题，教材通常都给出了利用拉格朗日乘数法的求解方法。但对很多问题，存在 着更为简便的解法。本文针对几例典型问题探讨了求条件极值的几种方法。 ［关键词］条件极值拉格朗日乘数法 均值不等式 柯西不等式 琴生不等式 在高等数学的学习中，我们经常碰到求条件极值的问题，教材中常 采用拉格朗日乘数法。在《高等数学》ｕＩ中，拉格朗日乘数法是这样定义 的： 由三角形面积公式ｓ＝√户（ｐ—ｎ）（户一６）（户一ｃ），其中Ｐ为半周长， ａ，６，ｃ为三角形边长。由余弦定理ｎ：．Ｊ２Ｒ￣－２Ｒｚ ｃｏｓｌｆ：２Ｒｓｉｎ嬖 Ｉ 要求目标函数ｚ＝ｆ（ｘ， ）在附加条件 ， ）＝０下的可能极值点， 可以先做拉格朗日函数Ｌ（ｘ， ） 厂（ ， ）＋ （ ，Ｙ）（其中 为参数），求 其对ｚ与Ｙ的一阶偏导数，并使之为零，然后与 －ｚ，ｙ）＝Ｏ联立解出极 值可疑点－ｚ， 。 在有些情况下，拉格朗日乘数法很好用，能起到很好的效果，解决 很多问题。可是，拉格朗日乘数法并不是求极值的唯一方法，我们还可 以利用均值不等式、柯西不等式、琴生不等式等不等式去求极值。有 时，对问题直接进行分析，也可以解决问题。更重要的一点是，在有些 场合，用拉格朗日乘数法求极值会很繁琐，这会增加我们的解题负担。 为此，掌握一些求极值的其他方法是十分必要的，下面我们通过几道具 有代表性的例题来说明这个问题。 １．典型例题 例１求半径为Ｒ的圆的内接三角形中面积的最大者 】。 分析：如图，利用三角形ＡＢＣ是圆内接的这一性质，可将面积Ｓ写 成圆心角 ， ，ｙ的函数。再采用拉格朗日乘数法进行求解，也可以采 ｂ＝２Ｒｓｉｎ号，ｒ＝２Ｒｓｉｎ薹，由均值不等式有 ｓ＝，［ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ） ≤ｐ－ａ＋ｐ－ｂ＋ｐ－ｃ＝孚 ｐ＝ ｓ．ｎ薹＋ｓ．ｎ ＋ｓ 舌） ＋ｒＲ×３ｓｉｎａ＋ｆｌ６．＝． 与解法二同理，可证Ｆ（ｚ） ｓｉｎ专为凸函数，再由琴生不等式有 ３ｆＲ ，所以，ｓ ＝ 手Ｒ ，取等号时，ａ＝ ＝ｙ＝吾 。 解法四：利用正弦定理。 由正弦定理知丽ａ ｉ丽ｂ 丽Ｃ＝２Ｒ故有 ，ｓ＝吉口ｂｓｉｎＣ＝２Ｒ。ｓｉｎＡ×ｓｉｎＢ×ｓｉｎＣ， 且 ｏｓ（ＡｓｉｎＡ×ｓｉｎＢ×ｓｉｎＣ：—ｃ用琴生不等式来求解。除此之外，还可以根据正弦定理、三角形面积公 式等几何定理来解答。 －Ｂ）－———— ｃｏｓ—（Ａ＋Ｂ）×ｓｉｎＣ ————一———————≤ ： ｓｉｎＣ： ２ ４（１一ＣＯＳｃ）（１一ＣＯＳｃ）（１＋ｃｏｓｃ）（１＋ｃｏｓＣ） ｌ（３（１－ｃｏｓＣ）＋３（１＋ｃｏｓＣ））４４ ＝ ８ ＶＶ 解法一：拉格朗日乘数法。 ≤如图，设 ＯＢ＝ａ，／ＢＯＣ＝ｆｌ， ＣＯＡ＝），， ３ 丢 则ａ＋ｆｌ＋），＝２ ，（Ｏ＜口， ，），＜ 且所对应三角形面积 两次等号都成立的条件是Ａ＝Ｂ＝Ｃ，所以ｓ一＝半Ｒ。。 解法五：利用几何方法。 由解法四知 ｓ＝吉Ｒ。ｓｉｎａ＋ １Ｒ。ｓｉｎｌｆ＋百１Ｒ ｓｉｎｙ， 作拉格朗日函数 Ｆ（ａ， ，），， ）＝吉Ｒ。ｓｉｎａ＋万１Ｒ ｓｉｎｌｆ＋ １Ｒ。ｓｉｎＴ＋Ａ（ａ＋ｆｌ＋７—２ 解联立方程得 ｃＯｓ ＋ ＝ Ｆ。（ ， ， ， ）＝ Ｒ０ｓ＝ ｓｉｎＣ＝豢＝ｚＲ２ ｓ．ｎ詈Ｓｉ１１ ｓ 々 与解法四中ｓｉｎＡ ｓｉｎＢｓｉｎｃ 一样，可以证明 （口， ，），， ）＝ Ｒ ｃｏｓｆｌ＋￣＝ ＦＴ（ｏ￣ ，ｙ， ）＝－Ｒｚ ｃｏｓｙ＋Ａ＝０， ｓ￣ ０ｔ．ｎ譬ＳｉＩ１号≤警 ｓ一学Ｒ ． 可得唯一驻点ａ＝ｆｌ＝ｒ＝２Ｔｃ由于圆内接三角形最大面积存在， ，根据纯几何的分析，我们同样可以解决这个问题。 解法六：利用初等数学。 若ＢＣ两点固定，Ａ在圆周上运动，由图可知：当Ａ在ＢＣ的中垂线上 且Ａ在劣弧ＢＣ上时，面积大于Ａ在其他点。以此类推，Ａ、Ｂ、Ｃ分别位 故 于ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的中垂线上时，面积取得最大值半Ｒ ，此时三角形 ｓ Ｒ。×萼 学 解法二：利用琴生不等式。 由解法一有口＋ ＋ｙ ２Ⅱ，且 ＡＢＣ为正三角形。 本例中的圆心角三个角度之间存在轮换对称性，所以用拉格朗日 Ｓ＝１Ｒ￣ｓｉｎ口＋１ＲＺ ｓｉｎｆｌ＋１Ｒ￣ｓｉｎ７， 乘数法时，能简单地得到三个角度之间的关系。但当未知量不存在对 称性或者不是全部存在对称性时，如果再用拉格朗日乘数法，问题就不 会那么简单了。下面就是一个例子。 设Ｆ（ｚ）＝ｓｉｎｘ，（０＜ｚ＜７ｃ 贝４ Ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ，Ｆ＇（ｘ）＝－ｓｉｎｘ＜０ 所以，Ｆ（ｘ）为凸函数。由琴生不等式知 例２在椭球体手＋ ＋ ＝１内，求一表面积为最大的内接长方 体，并求出其最大表面积 。 方法一：拉格朗日乘数法。 设位于第一象限的点的坐标为（日，ｂ，ｆ 则长方体表面积为 Ａ＝８ ｂ＋ｂｃ＋ｆ口 Ｉ＇＝－１题为求满足条件 ＋ｂ ＋ｃ ＝１的ｄ，ｂ，ｆ，使达到 ｓｉｎａ＋ｓｉｎｌｆ＋ｓｍ．ｙ ３ｓｉｎ华 ：学， 故ｓ～： Ｒｚ，当且仅当ａ： ：ｙ：罢Ⅱ时等号成立。 解法三：利用均值不等式。 基金项目：本文受中国矿业大学（北京）工程力学专业建设项目资助。 作者简介：昊小虎（１９９２一），男，湖北荆州人，中国矿业大学（北京）力学与建筑工程学院工程力学２０１０￣ｉ．本科在读。林天舒（１９９２一），男，安徽马鞍 山人，中国矿业大学（北京）力学与建筑工程学院工程力学２０１０￣ｉ本科在读。 一３６— 最大值。作拉格朗Ｅｌ函数 设２＞０，有Ｆ（口，ｂ，ｆ）＝２ａｂ＋ｂ。≤｛日 ＋２ｂ ＋ｂ ＝ １ ＋（１＋ ）６ 。 Ｆ ，ｂ，ｃ， ）＝８（ ｂ＋ｂｆ＋ｆ ）＋ （譬＋６ ＋ｆ。一１） 解联立方程Ｆ ：８（６＋ｃ）＋ Ｆ６＝８（ｆ＋ｄ）＋２２ｂ＝Ｏ， Ｆ ＝８（ａ＋ｂ）＋２２ｃ：０， ＝ｏ 令南＝ ＝８ ｎ 一８＿ｏ ＝１ 所以 ，ｂ，ｃ）≤ （ ＋ｂｚ）： 。 。 等 ＋ｆ２＿１．Ｏ。 得６＝ｃ＝ 于是 ＋吉 ＝ｏ。即Ａ ＋ 一１２８＝０。 故２＝－２（１±厩）。 故Ａ一＝２（１＋ 另外，当拉格朗日函数中存在绝对值符号或者所给条件中存在绝 对值符号时，在对函数进行求导时，要分情况讨论，所以会非常麻烦。 此时，可以寻找其他的解题方法。下面我们也用例题说明。 代入譬＋２６。 ａ２＋２ 故。：一 ．］。＝ｌｃ √６６—２厕 。 例３求函数 ＝ ＋ 一 在区域Ｄ： ＋ｂ，ｌ＜１上的最大值与最 －小值。（莫斯科自动化学院１９７５年竞赛题） 方法一：用拉格朗日乘数法。 由于所给条件存在绝对值符号，所以要分隋况讨论。 首先，在Ｄ的内部： ＋ ＜１，由 ’ ＝２：ｃ— ＝０， ＝ｚｙ一１＝０解 得驻点为Ｐ （Ｏ，Ｏ）。 其次，在 ＋ ＝１（０＜ｚ＜１）边界上，作拉格朗Ｅｌ函数 Ｆ＝ｘ。＋ 一 ＋ （ｚ＋ 一１）。 由Ｆ ＝ －ｙ＋２＝０，Ｆｙ ＝２ｙ～ｚ＋ ＝Ｏ，Ｆ＾ ＝ＣＣ＋ 一１：ｏ 即（１一√ ）。ａ。＋３２ａ ＝４（１一、ｆ丽）。。 Ｊ６６一ｚ ３４￣ｇ ＞ｏ，６： ：— 所以Ａ～：８［ １６（１一厩） ６６—２√３３ ＋ ］：２（１＋３－Ｊ￣）。 ６６—２√３３ 由此司见，利用拉格朗日乘数法求极值有时是比较麻烦的。 方法二：利用均值不等式。 注意到当日，ｂ＞Ｏ时，有均值不等式：ｄ ＋ｂ ≥２ａｂ，本题中出现了 ｎ ，ｂ。，Ｃ ，ａｂ，ｂｃ，ｃａ，因此联想到利用均值不等式求解。 设长方体位于第一象限的顶点坐标为（ａ，ｂ，ｆ 则长方体表面积 为： Ａ＝８（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）ｏ ． 解得Ｆ的驻点Ｐ２（告，吉）。 同理，在边界Ｙ－－３３＝１，（一１＜ｚ＜０）上，可求得相应的点Ｐ３（ ，吉）； 在边界－ｙ— ＝１（一１＜ｚ＜ｏ）上，可求得相应的点户４（－ ， ）；在边界 ｚ— ＝１（０＜－ｚ＜１）上，可求得相应的点Ｐ５（吉， 记四个边界线段的交点分别为Ｐ６（１，Ｏ），Ｐ７（Ｏ，１），Ｐ８（一１，Ｏｌｐ９（Ｏ，－１）ｏ 且满足条件： ＋ 。＋ｆ ＝１。 由于函数ｚ（ｘ，Ｙ）的最大值与最小值只能在上述９个点 中取得，于是有 ＝１，２…．，９） 设０＜ ＜１，则 １＝等＋６２－｝－Ｃ２＝［等＋（１～ ２］＋［等＋（１—２）ｃ ］＋ ６。＋ ｆ ］ ｍａｘｚ＝ｍａｘ｛ｚ（ｐ 淞＝１，２…．，９｝＝ｍａｘ｛Ｏ，毒， ， １， ，ｌＩｌ，１，１）＝１ ，ｍｉｎｚ ｍｉｎ｛ｚ（ｐｉ￣ｉ＝１，２…．，９）＝ｍｉｎ｛Ｏ，专， ６， 哥，１，１，１，１｝＝０。 方法二：利用绝对值不等式。 由绝对值不等式ａｂ≥ ・ｌｂＩ得 ｚＪ 令 Ｊ ｚＪ 卅２２ｂｃ。 ２２， ・ 。 一则８２。＋ 一ｌ＝０。 ＝ ＋ 一 所以 ＝０。 Ｉ＋ｂ，１一Ｉａｌ・ｌｂｌ：（ ｌ一 １） ＋ ｌ・ｂＩＩ≥Ｏ ｌ ＋ｌｙｌ２＋ Ｉ・ｂ，１＝ｋＫｌ￣ｌ＋ｂ，１）。＋ｌｙｌ ≤ ｌ＋ｂ，Ｉ ４￣３解得２：—－１ ＋ ＝ｚ。＋ 一 所以 曼 二 （ａｂ＋ｂｆ＋ｃ盘） １）￣ＷｉＮ８（ａｂ＋ｂｆ＋ ） ２（１＋√丽 ，所以 一＝ｌ。 等号成立时，等 （１一 ＝（１一批。，即６ ｃ＝— 亏 方法三：利用对称性。 设长方体位于第一象限的顶点坐标为（口，６，ｃ 则长方体表面积 为：Ａ＝８（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ），且满足条件：竽＋６ 十ｆ。＝１。 由等式 ＋６。＋ｆ ＝１及所求Ａ＝８（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）知’ｂ和ｃ具有对 称性，所以在取最大值时，必有ｂ＝ｃ。 事实上，设Ｆ（ａ，ｂ，ｃ）＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，则 Ｔｂ＋ｃ，ｃＴ＋ａ） ６＋ｆ）＋ Ｆ，，Ｔｂ＋ｃ，ｃＴ＋ａ）一 ）＝ 。 ＞６ｃ 我们可以看到，方法２相对于方法１来说是非常简单的。所以，在 遇到求极值的问题时，我们不能总是依靠拉格朗Ｅｌ乘数法，应该认真地 分析题目，对于不同形式的题目，思考出更简单的方法。 ２．结束语 通过上面的例题，我们可以看出，求极值的方法并不是单一、绝对 的，运用不同的思路就可以用不同的方法解出题目。拉格朗日乘数法 虽然可以解决很多问题，但不一定是最好的解题方法，我们可以综合运 用均值不等式，柯西不等式，琴生不等式等不等式去解决问题，使问题 的解法更加的简单。在高等数学的学习当中，应当时刻牢记知识点之 间并不是孤立的，它们存在着普遍的联系。作为初学者，学生应该尝试 从不同的角度去看同一道题目，这样的训练有利于突破思维的局限性。 参考文献 ［１］同济大学数学系．《高等数学》．高等数学教育出版社 ［２］李心灿等．《大学生数学竞赛试题解析选编》．机械工业出版社 所以当Ａ取最大值时，必有６＝ｆ，从而 ＋２ｂｚ＝１。 （上接第３５页） 设备坚决淘汰，对于需要维修养护的设备要及时、定 时维修和养护，对于要更新的设备也要克服困难进行更新。这样，在建 立部门网站、设计科研管理信息系统等工作时才可以得心应手。这样， 日常管理的自动化、半自动化、规范化才有物质的保障，科研管理效率 才可以提高。 （三）管理人员信息素养培养机制 科研管理深度信息化实现的核心是人，因为无论多么完善的制度、 多么精良的设备，如果没有训练有素的人来执行、来运作，也无益于管 升现有科研管理人员的信息素养水平。如通过定期把科研管理人员派送 到其它院校的信息化专业进行学习，请相关专家来校进行讲座、示范等措 施，全面提高现有管理人员的信息化管理意识、管理水平和管理技能。 参考文献 ［１］薛萍．高职院校科研管理信息化建设探讨［Ｉ］．淮海工学院学报 （社会科学版），２０１１（２２）． ［２］张瑞霞．高职院校科研信息化管理探析［＿１］．科技管理研究，２０１０ （２１）． ・ 理。提高高职院校科研管理人员的信息素养，可以主要采取两大举 措。首先，学校要克服困难，创造条件，尽量吸纳既具有信息化技术和 知识，又具有管理知识的信息化管理综合型人才，充实到科研管理队伍 中来，并发挥这些人才的带头作用和学科优势，不断提高本校科研管理 深度信息化水平。其次，采用走出去、请进来、自学、传帮带等方式，提 ［３］白廷国，兰虹．高职高专院校科研管理信息化问题浅析…．齐齐 哈尔师范高等专科学校学报，２００９（３）． ［４］林娜．高职院校科研管理工作网络化建设的思考［１］．陕西青年 职业学院学报，２００９（２）． 一３７—