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2019年衡阳市中考数学试题、答案(解析版)

2023-07-03 来源：赴品旅游

2019年衡阳市中考数学试题、答案（解析版）

本试卷满分120分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题共36分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

31.的相反数是

43A.

42.如果分式

C.

( )

3 44 3D.4 3

( )

1在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x1

B.x＞1

C.全体实数

A.x1 D.x1

3.2018年6月14日,探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制,进入环绕距月球65 000公里的地月拉格朗日L2点Halo使命轨道,成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星,用科学记数法表示65 000公里为公里

( )

B.65103

C.6.5104

D.6.5105

( )

A.0.65105

4.下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是

5.下列各式中,计算正确的是 A.8a3b5ab

B.(a2)3a5

( )

C.a8a4a2 D.a2aa3

6.如图,已知AB∥CD,AF交CD于点E,且BEAF,BED40,则A的度数是

( )

A.40 B.50 C.80 D.90

7.某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中,成绩(单位：分)的中位数是 A.97

( )

分别是86,95,97,90,88,这组数据

B.90 C.95

D.88

( )

8.下列命题是假命题的是

A.n边形(n≥3)的外角和是360

B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C.相等的角是对顶角

D.矩形的对角线互相平分且相等

2x＞3x,9.不等式组的整数解是

x4＞2A.0

B.1

D.1

( )

C.2

10.国家实施“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力.2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得 ( ) A.9(12 x)1

B.9(1 x)21

C.9(12 x)1

D.9(1 x)21

11.如图,一次函数y1kxb(k0)的图象与反比例函数y2m(m为常数且m0)的图象都经过A(1,2),B(2,1),结合图x

象,则不等式kxb＞m的解集是 x ( )

A.x＜1

B.1＜x＜0 D.1＜x＜0或x＞2

中点,过点作AC和BC的垂线,垂足分点A重合时停止运动,设运动时间为t,关于t的函数图象大致为

C.x＜1或0＜x＜2

12.如图,在直角三角形ABC中,C90,ACBC,E是AB的别为点D和点F,四边形CDEF沿着CA方向匀速运动,点C与运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S.则S

( )

第Ⅱ卷(非选择题共84分)

二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上) 13.因式分解：2a28 .

14.在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球,这些球除颜色不同其它没有任何区别.若从该布袋里任意摸出1

1个球,该球是黄球的概率为,则a等于 .

215.273 .

x116.计算： .

x11x17.已知圆的半径是6,则圆内接正三角形的边长是 . 18.在平面直角坐标系中,抛物线yx2的图象如图所示.已知A点坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1

作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4,……,依次进行下去,则点A2 019的坐标为 .

三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分6分)

10|32|tan60(2019). 2

20.(本小题满分6分)

某学校为了丰富学生课余生活,开展了“第二课堂”的活动,推出了以下四种选修课程：A.绘画；B.唱歌；C.演讲；D.十字锈.学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生,对他们选择的课程情况进行了

3

统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合统计图中的信息,解决下列问题：

课程选择情况的条形统计图

课程选择情况的扇形统计图

(1)这次学校抽查的学生人数是； (2)将条形统计图补充完整；

(3)如果该校共有1 000名学生,请你估计该校报D的学生约有多少人？

21.(本小题满分8分)

关于x的一元二次方程x23xk0有实数根. (1)求k的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m1)x2xm30与方程x23xk0有一个相同的根,求此时m的值.

22.(本小题满分8分)

如图,在一次综合实践活动中,小亮要测量一楼房的高度,先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30,沿坡面向下走到坡脚C处,然后向楼房方向继续行走10米到达E处,测得楼房顶部A的仰角为60.已知坡面CD10米,山坡的坡度

i1:3(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),求楼房AB高度.(结果精确到0.1米)(参考数据：31.73,

21.41)

23.(本小题满分8分)

如图,点A,B,C在半径为8的O上.过点B作BD∥AC,交OA延长线于点D.连接BC,且BCAOAC30. (1)求证：BD是O的切线； (2)求图中阴影部分的面积.

24.(本小题满分8分)

某商店购进A,B两种商品,购买1个A商品比购买1个B商品多花10元,并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等.

(1)求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；

(2)商店准备购买A,B两种商品共80个,若A商品的数量不少于B商品数量的4倍,并且购买A,B商品的总费用不低于1

000元且不高于1 050元.那么商店有哪几种购买方案？

25.(本小题满分10分)

如图,二次函数yx2bxc的图象与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E. (1)求该抛物线的函数关系表达式；

(2)当点P在线段OB(点P不与O,B重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；

(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN,MB.请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在,求出此时点M的坐标；若不存在,请说明理由.

26.(本小题满分12分)

的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时,点P,Q同时停止运动.设运动时间为t(s),过点P作PEAC于E,连接PQ交AC边于D.以CQ,CE为边作平行四边形CQFE.. (1)当t为何值时,△BPQ为直角三角形；

(2)是否存在某一时刻t,使点F在ABC的平分线上？若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由； (3)求DE的长；

(4)取线段BC的中点M,连接PM,将△BPM沿直线PM翻折,得△BPM,连接AB,当t为何值时,AB的值最小？并求出最小值.

如图,在等边△ABC中,AB6 cm,动点P从点A出发以1 cm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样

2019年衡阳市中考数学答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题

1.【答案】B

33【解析】的相反数是；故选：B.

44【考点】绝对值的概念.

2.【答案】A

【解析】解：由题意可知：x10,x1,故选：A. 【考点】分式有意义的条件.

3.【答案】C

【解析】解：科学记数法表示65 000公里为6.5104公里.故选：C. 【考点】科学记数法表示数.

4.【答案】D 【解析】A、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误；B、不是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项错误；C、

是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误；D、既是中心对称图形也是轴对称图形,故此选项正确.故选：D. 【考点】轴对称图形和中心对称图形. 5.【答案】D

【解析】A、8a与3b不是同类项,故不能合并,故选项A不合题意；B、(a2)3a5,故选项B不合题意；C、a3a4a4,故

选项C不符合题意；D、a2aa3,故选项D符合题意.故选：D. 【考点】整式的运算. 6.【答案】B

【解析】解：∵BEAF,BED40,∴FED50,∵AB∥CD,∴AFED50.故选：B. 【考点】平行线的性质,垂直的定义,三角形的内角和定理.

7.【答案】B

【解析】解：将小明所在小组的5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97,所以这组数据的中位数为90分,故选：

B. 【考点】中位数.

8.【答案】C

【解析】A、n边形(n≥3)的外角和是360,是真命题；B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,是真命题；

C、相等的角不一定是对顶角,是假命题；D、矩形的对角线互相平分且相等,是真命题；故选：C. 【考点】判断命题的真假,多边形的外角和,垂直平分线的性质,对顶角的概念,矩形的性质. 9.【答案】B

①2x＞3x【解析】

x4＞2②解不等式①得：x＜0, 解不等式②得：x＞-2,

∴不等式组的解集为2＜x＜0,

2x＞3x∴不等式组的整数解是1,

x4＞2故选：B.

【考点】解不等式组,求整数解.

10.【答案】B

【解析】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x,根据题意得：9(1x)21,故选：B. 【考点】一元二次方程解应用题. 11.【答案】C

【解析】解：由函数图象可知,当一次函数y1kxb(k0)的图象在反比例函数y2的取值范围是：x＜1或0＜x＜2,

m∴不等式kxb＞的解集是x＜1或0＜x＜2.

x故选：C.

【考点】函数图象与不等式的关系.

12.【答案】C

【解析】解：∵在直角三角形C90,ACBC, ∴△ABC是等腰直角三角形, ∵EFBC,EDAC, ∴四边形EFCD是矩形, ∵E是AB的中点,

11∴EFAC,DEBC,

22∴EFED,

∴四边形EFCD是正方形, 设正方形的边长为A,

如图1当移动的距离＜a时,

m(m为常数且m0)的图象上方时,xx图1

1S正方形得面积△EEH的面积a2t2；

2当移动的距离＞a时,如图2,

图2

11SS△ACH(2at)2t22at2a2,

22∴S关于t的函数图象大致为C选项,

故选：C.

【考点】等腰直角三角形的性质,正方形的性质,求图形的面积.

第Ⅱ卷

二、填空题

13.【答案】2(a2)(a2)

【解析】2a282(a24)2(a2)(a2). 【考点】因式分解. 14.【答案】5

【解析】解：根据题意知

a1,

32a2解得a  5,

经检验：a  5是原分式方程的解, ∴a  5, 故答案为：5.

【考点】频率与概率的关系,解分式方程. 15.【答案】23

【解析】原式33323.故答案为：23. 【考点】二次根式的计算. 16.【答案】1 【解析】解：原式x1 x1x1x1 x11.

故答案为：1. 【考点】分式的计算.

17.【答案】63 【解析】如图,圆半径为6,求AB长.

AOB3603120

连接OA,OB,作OCAB于点C, ∵OAOB,

∴AB2AC,AOC60,

3∴ACOAsin60633,

2∴AB2AC63, 故答案为：63.

【考点】圆内接三角形的定义,等边三角形的性质,垂径定理,特殊角的锐角三角函数值. 18.【答案】(1010,10102)

【解析】解：∵A点坐标为(1,1), ∴直线OA为yx,A1(1,1), ∵A1A2∥OA,

∴直线A1A2为yx2, 解

yx22yx∴A2(2,4), ∴A3(2,4), ∵A3A4∥OA,

∴直线A3A4为yx6,

x1x2得或,

y1y4yx6x2x3解得或, 2y4y9yx∴A4(3,9), ∴A5(3,9) …,

2∴A2019(1010,1010),

故答案为(1010,10102).

【考点】探索规律,一次函数和二次函数的图象性质,函数图象的平移. 三、解答题

19.【答案】解：原式82331

9

【考点】实数的运算.

20.【答案】解：(1)这次学校抽查的学生人数是1230%40(人), 故答案为：40人；

(2)C项目的人数为4012144 =10(人) 条形统计图补充为：

4100(人). 40【解析】解：(1)这次学校抽查的学生人数是1230%40(人), 故答案为：40人；

(2)C项目的人数为4012144 =10(人) 条形统计图补充为：

(3)估计全校报名军事竞技的学生有1000

(3)估计全校报名军事竞技的学生有10004100(人). 40【考点】条形统计图,扇形统计图,样本估计总体. 21.【答案】解：(1)根据题意得(3)24k≥0,

9解得k≤；

4(2)k的最大整数为2,

方程x23xk0变形为x23x20,解得x11,x22

∵一元二次方程(m1)x2xm30与方程x23xk0有一个相同的根,

3； 2当x2时,4(m1)2m30,解得m1, 而m10,

3∴m的值为.

2【解析】解：(1)根据题意得(3)24k≥0,

9解得k≤；

4(2)k的最大整数为2,

方程x23xk0变形为x23x20,解得x11,x22

∴当x1时,m11m30,解得m∵一元二次方程(m1)x2xm30与方程x23xk0有一个相同的根,

3； 2当x2时,4(m1)2m30,解得m1, 而m10,

3∴m的值为.

2∴当x1时,m11m30,解得m【考点】一元二次方程根的判别式,不等式的解法.

22.【答案】解：过D作DGBC于G,DHAB于H,交AE于F,作FPBC于P,如图所示：

则DGFPBH,DFGP,

∵坡面CD10米,山坡的坡度i1:3, ∴DCG30,

1∴FPDGCD5,

2∴CG3DG53, ∵FEP60, ∴FP3EP5, ∴EP53, 35320310, 33∴DFGP5310∵AEB60,

∴EAB30, ∵ADH30, ∴DAH60,

∴DAF30ADF,

20310, 31103∴FHAF5,

23∴AH3FH1053,

∴AFDF∴ABAHBH1053515531551.7323.7(米),

答：楼房AB高度约为23.7米.

【解析】解：过D作DGBC于G,DHAB于H,交AE于F,作FPBC于P,如图所示：

则DGFPBH,DFGP,

∵坡面CD10米,山坡的坡度i1:3, ∴DCG30,

1∴FPDGCD5,

2∴CG3DG53, ∵FEP60, ∴FP3EP5, ∴EP53, 35320310, 33∴DFGP5310∵AEB60,

∴EAB30, ∵ADH30, ∴DAH60,

∴DAF30ADF,

20310, 311035, ∴FHAF23∴AH3FH1053,

∴AFDF∴ABAHBH1053515531551.7323.7(米), 答：楼房AB高度约为23.7米.

【考点】切线的判定,平行线的性质,三角形内角和定理,三角形面积公式,扇形的面积公式. 23.【答案】(1)证明：连接OB,交CA于E,

1∵C30,CBOA,

2∴BOA60,

∵BCAOAC30, ∴AEO90, 即OBAC, ∵BD∥AC,

∴DBEAEO90, ∴BD是O的切线；

(2)解：∵AC∥BD,OCA90,∴DCAO30, ∵OBD90,OB8, ∴BD3OB83,

160π8232π∴S阴影S△BDOS扇形AOB883. 32323603【解析】(1)证明：连接OB,交CA于E,

1∵C30,CBOA,

2∴BOA60,

∵BCAOAC30, ∴AEO90, 即OBAC, ∵BD∥AC,

∴DBEAEO90, ∴BD是O的切线；

(2)解：∵AC∥BD,OCA90,∴DCAO30, ∵OBD90,OB8, ∴BD3OB83,

∴S阴影S△BDOS扇形AOB

160π8232π. 88332323603【考点】切线的判定,平行线的性质,三角形内角和定理,三角形公式,扇形的面积公式.

24.【答案】解：(1)设购买一个B商品需要x元,则购买一个A商品需要(x10)元,

300100, x10x解得：x5,

经检验,x5是原方程的解,且符合题意, ∴x1015.

答：购买一个A商品需要15元,购买一个B商品需要5元. (2)设购买B商品m个,则购买A商品(80m)个,

依题意,得：

80m≥4m依题意,得：15(80m)5m≥1000,

15(80m)5m≤1050解得：15≤m≤16. ∵m为整数, ∴m15或16.

∴商店有2种购买方案,方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个. 【解析】解：(1)设购买一个B商品需要x元,则购买一个A商品需要(x10)元, 依题意,得：

300100, x10x

解得：x5,

经检验,x5是原方程的解,且符合题意, ∴x1015.

答：购买一个A商品需要15元,购买一个B商品需要5元. (2)设购买B商品m个,则购买A商品(80m)个,

80m≥4m依题意,得：15(80m)5m≥1000,

15(80m)5m≤1050解得：15≤m≤16. ∵m为整数, ∴m15或16.

∴商店有2种购买方案,方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个. 【考点】分式方程的实际应用,一元一次不等式组的实际应用.

25.【答案】解：(1))∵抛物线yx2bxc经过A(1,0),B(3,0),

1bc0把A、B两点坐标代入上式,,

93bc0b2解得：,

c3故抛物线函数关系表达式为yx22x3； (2)∵A(1,0),点B(3,0), ∴ABOAOB134,

∵正方形ABCD中,ABC90,PCBE, ∴OPECPB90, CPBPCB90, ∴OPEPCB,

又∵EOPPBC90, ∴△POE~△CBP, BCOP∴, PBOE设OPx,则PB3x,

4x∴, 3xOE1139∴OEx23xx,

44216∵0＜x＜3,

93∴x时,线段OE长有最大值,最大值为.

16239即OP时,线段OE有最大值.最大值是.

216(3)存在.

如图,过点M作MH∥y轴交BN于点H,

∵抛物线的解析式为yx2x3, ∴x0,y3,

2∴N点坐标(0,3),

设直线BN的解析式为ykxb,

3kb0∴,

b3

k1∴,

b3∴直线BN的解析式为yx3,

设M(a,a22a3),则H(a,a3), ∴MHa3(a22a3)a23a, ∴S△MNBS△BMHS△MNH111327MHOB(a23a)3a, 2222821∵＜0,

2327315∴a时,△MBN的面积有最大值,最大值是,此时M点的坐标为,.

2824【解析】解：(1))∵抛物线yx2bxc经过A(1,0),B(3,0), 1bc0把A、B两点坐标代入上式,,

93bc0b2解得：,

c3故抛物线函数关系表达式为yx22x3； (2)∵A(1,0),点B(3,0), ∴ABOAOB134,

∵正方形ABCD中,ABC90,PCBE, ∴OPECPB90, CPBPCB90, ∴OPEPCB,

又∵EOPPBC90, ∴△POE~△CBP, BCOP∴, PBOE设OPx,则PB3x,

4x∴, 3xOE1139∴OEx23xx,

44216∵0＜x＜3,

93∴x时,线段OE长有最大值,最大值为.

16239即OP时,线段OE有最大值.最大值是.

216(3)存在.

如图,过点M作MH∥y轴交BN于点H,

∵抛物线的解析式为yx2x3, ∴x0,y3,

2∴N点坐标(0,3),

设直线BN的解析式为ykxb,

3kb0∴,

b3k1∴,

b3∴直线BN的解析式为yx3,

设M(a,a22a3),则H(a,a3), ∴MHa3(a22a3)a23a, ∴S△MNBS△BMHS△MNH111327MHOB(a23a)3a, 2222821∵＜0,

2327315∴a时,△MBN的面积有最大值,最大值是,此时M点的坐标为,.

2824【考点】待定系数法求二次函数的表达式,二次函数的图象与性质,相似三角形的判定和性质,三角形的面积公式. 26.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形, ∴B60,

∴当BQ2BP时,BPQ90, ∴6t2(6t), ∴t2,

∴t2时,△BPQ是直角三角形. (2)存在.

理由：如图1中,连接BF交AC于M.

图1

∵BF平分ABC,BABC

∴BFAC,AMCM3cm, ∵EF∥BQ,

1∴EFMFBCABC30,

2∴EF2EM,

1∴t23t,

2解得t3.

(3)如图2中,作PK∥BC交AC于K.

图2

∵△ABC是等边三角形, ∴BA60, ∵PK∥BC,

∴APKB60,

∴AAPKAKP60, ∴△APK是等边三角形, ∴PAPK, ∵PEAK, ∴AEEK,

∵APCQPK,PKDDCQ,PDKQDC, ∴△PKD△QCD(AAS), ∴DKDC,

11∴DEEKDK(AKCK)AC3(cm).

22(4)如图3中,连接AM,AM

图3

∵BMCM3,ABAC, ∴AMBC,

∴AMAB2BM233, ∵AB≥AMMB, ∴AB≥333,

∴AB的最小值为333.

【解析】解：(1)∵△ABC是等边三角形, ∴B60,