叠加定理在非线性电阻电路中的应用

・４２・　长江大学学报（自科版）　２００６年６月第３卷第２期理工卷　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｙａｎｇｔｚｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔ　Ｓｃｉ　Ｅｄｉｔ）　Ｊ　ｕｎ．２００６．Ｖｏ１．３　Ｎｏ．２　Ｓｅｉ＆Ｅｎｇ　Ｖ　叠加定理在非线性电阻电路中的应用　卢容德　（长江大学电子信息学院，湖北荆州４３４０２３）　［摘要］针对叠加定理只能用于线性电路的观点．从叠加定理的数学基础出发．通过应用替代定理等效变　换非线性电路，创造性地提出了叠加定理在非线性电阻电路中应用的方法．给出了求解的基本步骤。举　例说明．作为求解非线性电阻电路的中间步骤．叠加法是一种有效实用的方法。　２　～　ｔ　［关键词］非线性电阻电路；叠加定理；替代定理　［中图分类号］ＴＭ１３ｌ；ＴＭ１３３　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１６７３—１４０９（２００６　Ｊ　０２—００４２—０４　一　叠加定理是常用的电路基本定理之一，在线性电路分析中占有非常重要的地位。对于叠加定理的应　用范围，所有的电路分析文献都有一个共同的规则：叠加定理只适用于线性电路，非线性电路不能使　用　。因此，人们把非线性电路视为叠加定理的禁区。笔者将从叠加定理的数学基础出发，探讨叠加　定理在非线性电路中的应用。　叠加定理的数学基础　对于任意一个具有　个独立节点和多个独立电源的线性电阻网络，将所有的独立电压源变换为等效　电流源，可以写出　个独立节点电压方程：　ｆＧｌｌ　ｌ＋Ｇｌ２　２＋…＋Ｇｌ　Ｖ　一ＪⅢ　１Ｉ　Ｇ２ｌ　ｊ＋Ｇ２２　２＋…＋Ｇ２　Ｖ　一Ｊ　２　…”　‘　’　【Ｇ　ｌ　ｌ＋Ｇ　２　２＋…＋Ｇ　Ｖ　一Ｊ　式中，电导Ｇ　（　，　—ｌ，２，…，ｎ）是与电路参数及结构有关的常数；电流Ｊ　，（　—ｌ，２，…，ｎ）为节点　上独　立电流源的代数和。式（１）是一个　元线性方程组。对于一个实际电路，其解具有唯一性。如果以网孔电流、　支路电压或支路电流等为求解对象，都可以列出相应具有唯一解的常系数线性方程组。用△表示式（１）的　系数行列式，有：　Ａ＝＝　根据克莱姆（Ｃｒａｍｅｒ）规则，节点电压方程式（１）的解为：　ｔ一　－＋　ｚ＋…＋　＋…＋　ｚ一　ｔ＋　ｚ＋…＋　＋…＋　（２）　Ｖ　一　－＋　ｚ＋…＋譬　＋…＋八－Ａ。－。一－Ｊ，Ⅲ　一　Ａ　ｔ＋　／ｘ　ｚｚ＋…＋　＋…＋　［收稿日期］２００６—０３—１０　［ｆｉｅ者简介］卢容德（１９４７一），男，１９７０年大学毕业，教授，现主要从事电子技术教学与科研工作。　维普资讯 http://www.cqvip.com

第３卷第２期　卢容德：叠加定理在非线性电阻电路中的应用　式中，△　（七一ｌ，２，…，　）为行列式△中第　列各元素的余因式；并且　ＶＩ＝Ａｌｌ　Ｉ　Ｉ＋Ａ２１　Ｉａ＋…＋Ａｐｌ　Ｊ　＋…＋Ａ　１　Ｊ　Ｖ２＝ＡＩ２　Ｊ　Ｉ＋Ａ２２　Ｊ　＋…＋Ａ　Ｉ妒＋…＋Ａ，，ｌ２　Ｊ　中的各项都是网络中独立电流源　的线性组合。设该网络中有ｍ个独立电流源，将式（２）中各独立电流源的系数归并后，式（１）的解可以表示为：　（３）　Ｖ，＝Ａｉ，Ｊ　Ｉ＋Ａ２ｊＩ　＋…＋Ａ　Ｉ　＋…＋Ａ　Ｉ　Ｖ　：Ａｉ　Ｉ　Ｉ十Ａ２　Ｊ　２＋…＋Ａ　Ｊ妒＋…＋Ａ　Ｊ　式中，各系数Ａ　，（Ｐ—ｌ，２，…，ｍ；Ｊ—ｌ，２，…，　）只与电路元件参数有关。这里，Ｊ　（Ｐ—ｌ，２，…，　）为各　独立电流源的电激流。又因各电流源相互独立，所以，Ｖ，等于各个独立电流源单独作用时所产生的响应的　叠加。如果将式（３）中有关的独立电流源还原成独立电压源，那么就得出了Ｖ　等于各个独立电源单独作用　时所产生的响应的叠加的结论。这也就是众所周知的叠加定理。　叠加定理的证明过程，说明了叠加定理的数学基础：只要一个具有唯一解的电路可以描述成式（１）所　示的常系数线性方程组的形式，其解就具有式（３）所描述的一般形式，就可以应用叠加定理求解。根据这　个结论，可以寻找到在非线性电路中应用叠加定理的方法。　●　２叠加定理在非线性电阻电路中的应用　众所周知，直到现在，非线性电路还不可以被描述成线性方程组。根据前面的分析，在非线性电路　中应用叠加定理的关键就在于寻找到将非线性电路描述成线性方程组的方法。笔者曾在文献［４］中指　出，替代定理是某些非线性电路应用叠加定理的桥梁。对于任何一个具有ｎ个独立节点和含有一个二端　非线性电阻元件的电阻网络，可以将这个非线性电阻从这个网络中分离出来，如图ｌ（ａ）所示。只要　这个电路具有唯一解，就可以采用替代定理进行等效变换。这里所说的唯一解，对于直流电路，就是一　个常数；对于动态电路，就是一个以时间ｔ为自变量的函数。　设图ｌ中的非线性电阻具有唯一的电流Ｊ，那么，就可以用一个独立电流源Ｊ代替这个非线性电阻，　如图ｌ（ｂ）所示。显然，图ｌ（ｂ）在形式上已变成了一个线性电阻网络。于是，可以列出形式与式　（１）完全相同的线性的节点电压方程组。唯一不同的是，与非线性电阻相关联的节点的电流源电激流的　代数和含有未知量Ｊ。　Ｏ－　＋１　Ｐ　Ｏ－　＋ｌ　一＋ｌ　（）．　节点　Ｏ－　节点　节点　ｏ　（　（ａ）　（ｂ）　（ｃ）　图１具有一个二端非线性电阻的电阻网络　将非线性电阻的一端作为参考电位点，设另一端为Ｐ。根据前面的分析，将电路的解中各独立电源的　系数归并，节点Ｐ的电压表达式为：　Ｖｐ—ＡＩｐＪ　ｌ＋Ａ２ｐＪ　２＋…＋Ａ，ｉｒｐＩ　＋ＡｐＪ　（４）　于是，得出了表示　，与Ｊ关系的一个一次函数或二元一次方程。电路的解还没有真正计算出来。设非　线性电阻的伏安特性表达式为Ｖ　一厂（Ｊ），便可以得出如下形式的方程组：　维普资讯 http://www.cqvip.com

长江大学学报（自科版）　ｔＶ　Ｐ—ＡＰｌ＋Ｃ　２００６年６月　ｉ　一＿厂（Ｊ）　式中，Ａ　，Ｃ均为常数。解方程组（５），便可得出最后的结果。　々【ｌ果已知非线性电阻的伏安特性曲线，可以用图解法求出电路　的解，如图２所示。　（５）　同理，将非线性电阻的电流作为求解对象，用独立电压源　代　替非线性电阻，如图１（ｃ）所示，同样可以得出结果与式（５）相　同的方程组。　如果电路具有２个非线性电阻（图３），也可以把这２个非线　性电阻分离出来。只要这个电路具有唯一解，同样可以用独立电　压源或独立电流源代替非线性电阻，然后用叠加定理推导出描述　Ｊ。，、，’。，Ｊ：，　：关系的２个独立的线性方程。连同非线性电阻Ｒ，，Ｒ。的　伏安特性表达式，将得到一个含有４个未知量的非线性方程组。　，、，　图２　用图解法求解　不过，解题的难度仍然较大，只能具体电路具体分析。但是，从理　论上说，电路的解总是可以用这种方法求出来的。　３应用举例　在采用叠加定理分析非线性电路的过程中，如果采用电压源　替代非线性电阻，应将非线性电阻的电流作为求解对象；反之，　如果采用电流源替代非线性电阻，则应将非线性电阻的电压作为　求解对象。　２（，）　图４（ａ）是含有一个非线性电阻的电路，设图中非线性电阻　Ｒ的伏安特性为Ｊ一０．２５Ｖ。（　＞０）。　图３　具有２个非线性电阻的电阻网络　首先，假定电路具有唯一解。用电压源替代非线性电阻得到图４（ｂ），再将Ｒ的电流作为求解对象，根　据图中的参考方向，应用叠加定理不难得出：　（ｂ）　图４　非线性电阻电路示例　＋　一丽　代人数据并化简可得：　寺一蚩　将Ｊ一０．２５Ｖ　代人上式并化简可得：　２　＋５　一１８—０　考虑到　＞０，解得Ｖ一２（Ｖ），Ｊ一１（Ａ）。将Ｖ和Ｊ的值代人电路和非线性电阻的伏安特性表达式中验算　表明，满足基尔霍夫定律　，证明计算结果正确。　维普资讯 http://www.cqvip.com

第３卷第２期　卢容德：叠加定理在非线性电阻电路中的应用　运用叠加定理解非线性电阻电路的步骤如下：　１）将非线性电阻从网络中分离出来，按关联方向标出其电流和电压的参考方向。　２）假定该电路具有唯一解，用独立电压源或独立电流源代替非线性电阻。　３）用叠加定理求出描述非线性电阻的电流一电压关系的线性方程，再与非线性电阻的伏安特性方程　联立求解，确定非线性电阻的电流、电压值。　４）验算。因为电路具有唯一解在解题前只是一种假设，只有通过验算才能最后确定电路的解。　５）解出非线性电阻的电流和电压后，电路已转化成线性电路了。如果对其它支路的电流或电压感　兴趣，可以按线性电路的分析方法灵活处理。　４结　论　１）叠加定理在非线性电阻电路中的应用的关键在于替代定理的应用。换句话说，替代定理是非线　性电阻电路中应用叠加定理的桥梁。　２）在当前的数学基础上，叠加定理还只能用于非线性电阻电路，并且这个电路必须具有唯一解。　由于电路是否具有唯一解事先尚无定论，只能首先假定，待求出结果后再进行验算。　３）在非线性电阻电路的计算中应用叠加定理，只是定量分析的一个中间环节。由于这种方法打破　了在非线性电路的分析中不能应用叠加定理的禁令，在电路理论上是一次突破。　４）关于非线性电路的振荡问题，对于纯电阻电路是不存在的。因为电路中没有储能元件，即使非　线性器件具有负阻特性，也不会有能量的交换，因而不会出现振荡。　５）由于非线性电路具有频率变换作用，利用现有的数学工具，尚不能将含有Ｌ和Ｃ元件的非线性　电路描述成式（１）的形式。叠加定理在这些电路中的应用，还有待数学分析方法的新突破。关于叠加　定理在非线性电路中的应用，在理论和实践上还有许多工作要做。　［参考文献］　［１］林争辉．电路理论ｒＭ１．北京：高等教育出版社．１９８８．　［２］Ｂｕｄａｋ　Ａ．Ｃｉｒｃｕｉｔ　Ｔｈｅｏｒｙ　Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．２ｎｄ　ｅｄｉｔｉｏｎ．Ｎｅｗ　Ｊｅｒｓｅｇ：Ｐｒｅｎｔｉｃｅ－Ｈａｌｌ，Ｉｎｃ，１　９８７．　［３］Ｃｈｕａ　Ｌ　Ｏ，Ｄｅｓｏｒ　Ｃ　Ａ．Ｌｉｎｅａｒ　ａｎｄ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｃｉｒｃｕｉｔｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：ＭｃＧｒａｗ—Ｈｉｌｌ，Ｉｎｃ，１９８７．　［４］卢容德．关于替代定理的内涵与外延［Ｊ］．电气电子教学学报，２０００，２２（４）：１１５～１１７．　ｆ５］李翰荪．电路分析基础ｒＭ］．第３版．北京：高等教育出版社，Ｉ９９Ｉ．　［编辑］　易国华