已知二次函数f(x)满足条件:f(o)=1,f(x+1)=f(x)+2x.,(1).求f(x);(2...

发布网友发布时间：2024-10-23 23:18

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热心网友时间：2024-10-29 15:53

解：
(1)
设二次函数解析式为y=f(x)=ax²+bx+c
x=0 y=1代入，解得c=1
f(x+1)=f(x)+2x
a(x+1)²+b(x+1)+1=ax²+bx+1+2x
整理，得
2(a-1)x+a+b=0
要等式对于定义域上任意x恒成立，只有
a-1=0 a+b=0
解得a=1 b=-1
函数解析式为f(x)=x²-x+1
(2)
f(|x|)=|x|²-|x|+1=(|x|-1/2)²+3/4
绝对值项恒非负，f(x)≥3/4
当a<3/4时，f(|x|)=a无解，解的个数是0。
当a=3/4时，(|x|-1/2)²=0 |x|=1/2 x=1/2或x=-1/2，解的个数是2。
当a>3/4时，(|x|-1/2)²=a-3/4 |x|-1/2=√(a-3/4)或 |x|-1/2=-√(a-3/4)
|x|=1/2+√(a-3/4)>0 x有两解。
|x|=1/2-√(a-3/4)需要继续讨论：
a=1时，|x|=0 x=0，有一解。
3/4<a<1时，|x|>0，有两解。
a>1时，|x|<0，无解。
综上，得
当a<3/4时，方程解的个数是0。
当a=3/4时，方程解的个数是2。
当3/4<a<1时，方程解的个数是4；
当a=1时，方程解的个数是3；
当a>1时，方程解的个数是2。

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