三角函数求导公

发布网友 发布时间：2024-10-23 21:13

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三角函数的导数规则是微积分中的基础内容，以下是其基本公式概要：

三角函数的导数如下：

正弦函数: (\sin x)' = \cos x
余弦函数: (\cos x)' = -\sin x
正切函数: (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x = 1 + (\tan x)^2
(\cot x)' = \frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x = 1 + (\cot x)^2
正割函数: (\sec x)' = \tan x \cdot \sec x
(\csc x)' = -\cot x \cdot \csc x
反正弦函数: (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}
(\arccot x)' = -\frac{1}{1+x^2}
反正割函数: (\arcsec x)' = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}
(\arccsc x)' = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}
双曲函数: (\sinh x)' = \cosh x
(\cosh x)' = \sinh x
(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x} = \sech^2 x
(\coth x)' = -\frac{1}{\sinh^2 x} = -\csch^2 x
(\sech x)' = -\tanh x \cdot \sech x
(\csch x)' = -\coth x \cdot \csch x
反正双曲函数: (\arsinh x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}
(\arcosh x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \quad (|x| > 1)
(\artanh x)' = \frac{1}{1-x^2} \quad (|x| < 1)
(\arcoth x)' = \frac{1}{1-x^2} \quad (|x| > 1)
(\arsech x)' = \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}
(\arcsch x)' = \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}


每个公式都是通过极限法推导得出的，例如以 (\cos x)' = -\sin x 为例，通过令 f(x) = \sin x，然后利用泰勒展开和重要极限 \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1，得到导数的表达式。其余公式类似，都是通过类似的分析方法得出的。