数值分析学习笔记(二)

发布网友 发布时间：2024-10-24 15:55

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热心网友 时间：2024-11-13 20:01

本文将深入讨论函数零点的数值求解方法，以确保具备足够的理论基础。我们首先假定公式具有良好的性质。

接下来，我们将以一种由易入难的方式，介绍几种不同的零点求解方法：

我们从分析学课程中接触过的连续函数的介值定理出发，即若函数在区间内连续，且函数值在区间两端符号不同，则该区间内必存在零点。基于此原理，二分法应运而生。

二分法的基本思想是：首先确保区间内包含零点，然后通过计算该区间的中点，关注中点函数值的符号变化来缩小零点存在的区间。若中点函数值与零点所在区间内的函数值符号相同，则更新区间，重复此过程直至找到零点。

不难发现，二分法具有收敛性，因为每次迭代都会缩小零点所在区间的范围。然而，其收敛速度相对缓慢。定理表明，二分法的收敛速度为指数级，即 O(1/2^n)，其中 n 是迭代次数。

另一种求解零点的方法是将其转化为不动点求解问题。首先，我们定义不动点：若函数在某点的值等于该点的值，则称该点为函数的不动点。

不动点法的优势在于可以通过迭代方法快速找到不动点，即为零点。压缩映照定理提供了不动点存在的条件，即函数在某区间内为自身映射，并且函数在该区间内的增长率不超过单位增长。定理表明，满足此条件的函数在给定区间内存在唯一的不动点。

不动点迭代法是一种将零点求解转化为求解不动点的方法，通过选择初值并构造数列，最终收敛至不动点，即零点。

Newton-Raphson方法基于泰勒公式展开，其基本思想是在函数某点处进行一阶泰勒展开，并利用展开式求解零点。该方法从几何上理解，先过函数图象某点作切线，交x轴于新点，再过此新点作切线，重复此过程直至收敛。

Newton-Raphson方法的收敛速度通常较快，但初值的选择对收敛性至关重要。定理表明，若函数满足某些条件，且初值足够靠近零点，则Newton-Raphson方法收敛。对于零点阶数大于一的问题，我们可以通过改进Newton-Raphson方法来解决，使其更加鲁棒。

割线法是对Newton-Raphson方法的延伸，旨在减少导数计算的复杂性。割线法通过离散化导数，即使用函数值的差商代替导数，从而简化计算过程。试位法则在割线法的基础上，要求相邻两个估计值的区间中包含零点。

Muller方法相较于其他方法更为复杂，但其优点在于能够处理复数零点，且几乎对所有初始值都具有收敛性。通过构造通过三个点的抛物线来逼近零点，Muller方法提供了一种求解复数零点的有效方法。

本文介绍了数值分析中零点求解的几种基本方法，包括二分法、不动点法、Newton-Raphson方法、割线法、试位法以及Muller方法。每种方法都有其特定的应用场景和优缺点，选择合适的求解方法需根据问题的具体情况进行。

最后，希望本文能为读者提供对零点求解方法的深入理解与参考。如有兴趣了解更多数值分析方法，建议进行进一步学习与探索。