已知向量m=(2cosx,1),向量n=(cosx,根号3sin2x),函数f(x)=m乘以n+20

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①f(x)=2cos²x+√3sin2x+2010=cos2x+√3sin2x+2011=2sin(2x+π/6)+2011。
由π/2≤2x+π/6≤3π/2，解得f(x)的单调递减区间为[kπ+π/6，kπ+2π/3](k∈π)。
②由f(A)=2sin(2x+π/6)+2011=2012，得sin(2A+π/6)=1/2，
由0<A<π，得π/6<2A+π/6<2π+π/6，
所以，2A+π/6=5π/6，即A=π/3，
由S=(1/2)bcsinA=√3/2，得c=2，
由余弦定理，可得a=√3，
由等比定理，得(a+c) /(sinA+sinC)=a /sinA=2,
故1005(a+c) /(sinA+sinC)=2010。
如果不知道等比定理，则可先求出sinC。

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