线性相关性与矩阵的秩
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发布时间：2024-10-22 21:26
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时间：2024-11-03 20:44
当n个n维列向量线性相关时，可得系数行列式等于零，反之亦然。系数行列式为零意味着列向量中极大线性无关组的个数小于n，即不满秩。
若n个列向量线性无关，则系数行列式不等于零，即系数行列式满秩，且列向量中极大线性无关组的个数等于n。
总结：线性相关等价于不满秩，系数行列式为零；线性无关等价于满秩，系数行列式不等于零。
从向量组增减向量的视角，讨论n个向量，每个向量具有s个分量的情况。
若向量组线性相关，减少或增加相同位置的分量后仍线性相关，反之亦然。若线性无关，则增加相同位置的分量后仍线性无关。
误区提示：整体向量相关或无关与部分向量相关或无关并非一一对应关系，需正确理解相关性。
对于矩阵，研究其行秩与列秩。
将矩阵视为行向量或列向量的集合，研究线性相关性。系数行列式可判断矩阵的秩。
当m个向量，n个分量时，m等于n时，系数行列式不等于零表示线性无关，等于零表示线性相关；m大于n时，一定线性相关；m小于n时，通过选取m个分维，线性无关。
矩阵秩的判断与阶梯形矩阵非零行数相关。经过初等变换后，矩阵的秩等于阶梯形矩阵的非零行数。
得到矩阵秩后，可以通过阶梯形矩阵确定极大线性无关组。选取主元所在的列构成的列向量即为极大线性无关组。
向量组秩的比较：若一个向量组可以完全表示另一个，其秩小于等于另一个；若可以表示但不能完全表示，则秩小于另一个；若两组等价，则秩相等。
通过行列式与阶梯形矩阵，可以有效判断线性相关性与矩阵秩的关系，并在向量组比较中找到秩的大小关系。
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